By Otto Forster

ISBN-10: 383481251X

ISBN-13: 9783834812513

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren.

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3) F¨ur an = (−1)n ist (an )n∈N = (+1, −1, +1, −1, +1, . . ) . 5) n 2n n∈N n∈N = (0, 12 , 23 , 34 , 45 , . . ). 5 = (0, 12 , 12 , 38 , 14 , 32 , . . ). O. 6) Sei f0 := 0, f1 := 1 und fn := fn−1 + fn−2 . Dadurch wird rekursiv die Folge der Fibonacci-Zahlen definiert: ( fn )n∈N = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . ) . 7) F¨ur jede reelle Zahl x hat man die Folge ihrer Potenzen: (xn )n∈N = (1, x, x2 , x3 , x4 , . . ) . Definition. Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen a ∈ R, falls gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N, so dass |an − a| < ε f¨ur alle n N.

5) n 2n n∈N n∈N = (0, 12 , 23 , 34 , 45 , . . ). 5 = (0, 12 , 12 , 38 , 14 , 32 , . . ). O. 6) Sei f0 := 0, f1 := 1 und fn := fn−1 + fn−2 . Dadurch wird rekursiv die Folge der Fibonacci-Zahlen definiert: ( fn )n∈N = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . ) . 7) F¨ur jede reelle Zahl x hat man die Folge ihrer Potenzen: (xn )n∈N = (1, x, x2 , x3 , x4 , . . ) . Definition. Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen a ∈ R, falls gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N, so dass |an − a| < ε f¨ur alle n N.

2) nachzupr¨ufen. Dazu zeigen wir zun¨achst x 0 f¨ur alle x ∈ N . Beweis hierf¨ur. Wir definieren M := {x ∈ N : x 0}. d. 2) falsch, so g¨abe es ein x ∈ N mit 0 = ν(x) = x + 1, also x = −1. 4) ist −1 < 0, im Widerspruch zu x 0. Somit sind alle Peano-Axiome erf¨ullt. Man kann zeigen, dass durch die PeanoAxiome die nat¨urlichen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt sind. Wir werden deshalb N und N identifizieren. 3) das Prinzip der vollst¨andigen Induktion. Denn sei A(n) f¨ur jedes n ∈ N eine Aussage.

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by Kenneth
4.2

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