By Gaillard P.

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Le groupe peut ˆetre engendr´e par des ´el´ements σ1 and σ2 appartenant ` a l’unique classe de conjugaison de taille 12 dont les ´el´ements sont d’ordre 4 et ` a une classe de conjugaison d’´el´ements d’ordre 12 tels que σ3 = (σ1 σ2 )−1 soit d’ordre 8. Consid´erons un revˆetement galoisien de P1 de groupe de Galois G ramifi´e en 0, 1, ∞ selon σ1 , σ2 , σ3 . Le caract`ere de G dans l’espace des 1-formes holomorphes (cf. 2]) contient les deux caract`eres de degr´e 4 exactement une fois. D’apr`es la table de caract`eres (cf.

2. Avec les notations pr´ec´edentes, supposons maintenant que m = n. Alors, dans la base z1 , . . , zn le groupe G envoie une solution zi sur un multiple d’un certain zj . En cons´equence, la repr´esentation de G est monomiale dans cette base. R´eciproquement, si G est monomial dans une certaine base y1 , . . , yn , alors G permute les yi /yi qui sont donc de degr´e au plus n. Puisque G ⊂ GL(n, C) est irr´eductible, le point pr´ec´edent montre que l’orbite de u = y1 /y1 ne peut pas ˆetre de cardinal inf´erieur `a n, donc [k(u) : k] = n.

Supposons que L(y) = 0 a une solution liouvillienne z = e u avec [k(u) : k] = m et m minimal. Puisque G envoie la d´eriv´ee logarithmique u = z /z sur une autre d´eriv´ee logarithmique, le polynˆome minimal P ∈ k[U ] de u doit ˆetre de la forme m z P = U− i zi i=1 43 o` u les zi sont des solutions de L(y) = 0. Puisque G envoie zi /zi sur zj /zj , il envoie zi sur un multiple de zj . En particulier l’espace engendr´e par z1 , . . , zm est G-invariant. Puisque L(y) est irr´eductible, le groupe G ⊂ GL(n, C) est un groupe lin´eaire irr´eductible, donc m ≥ n.

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by Donald
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